Question

设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|log_a(1－x)|与|log_a(1＋x)|的大小．

Answer

|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|

【解析】主要考查对数运算、对数函数的图象和性质。

解法一：作差法

|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=| |－||=(|lg(1－x)|－|lg(1＋x)|)

∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1＋x

∴上式=－[(lg(1－x)＋lg(1＋x)]=－·lg(1－x2)

由0＜x＜1，得，lg(1－x2)＜0，∴－·lg(1－x2)＞0，

∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|

解法二：作商法

=|log(1－x)(1＋x)|

∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＋x，∴|log(1－x)(1＋x)|=－log(1－x)(1＋x)=log(1－x)

由0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x2＜1

∴0＜(1－x)(1＋x)＜1，∴＞1－x＞0

∴0＜log(1－x) ＜log(1－x)(1－x)=1

∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|

解法三：平方后比较大小

∵loga2(1－x)－loga2(1＋x)=[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga(1－x)－loga(1＋x)]

=loga(1－x2)·loga=·lg(1－x2)·lg

∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜＜1

∴lg(1－x2)＜0，lg＜0

∴loga2(1－x)＞loga2(1＋x)，即|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|

解法四：分类讨论去掉绝对值

当a＞1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=－loga(1－x)－loga(1＋x)=－loga(1－x2)

∵0＜1－x＜1＜1＋x，∴0＜1－x2＜1

∴loga(1－x2)＜0，∴－loga(1－x2)＞0

当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0

∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|loga(1－x)＋loga(1＋x)|=loga(1－x2)＞0

∴当a＞0且a≠1时，总有|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|