Question

已知函数f(x)=log_a(a－a^x)且a＞1，

（1）求函数的定义域和值域；

（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；

（3）证明函数图象关于y=x对称．

Answer

（1）定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)；

（2）f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数；（3）见解析。

【解析】主要考查对数函数的图象和性质，复合函数的单调性。

【解析】
(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)

(2)设1＞x2＞x1

∵a＞1，∴，于是a－＜a－

则loga(a－a)＜loga(a－)

即f(x2)＜f(x1)

∴f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数

(3)证明：令y=loga(a－ax)(x＜1)，则a－ax=ay，x=loga(a－ay)

∴f－1(x)=loga(a－ax)(x＜1)

故f(x)的反函数是其自身，得函数f(x)=loga(a－ax)(x＜1＝图象关于y=x对称．