Question

若f（x）=x²－x+b，且f（log₂a）=b，log₂［f（a）］=2（a≠1）.

（1）求f（log₂x）的最小值及对应的x值；

（2）x取何值时，f（log₂x）＞f（1）且log₂［f（x）］＜f（1）？

Answer

（1）x=时，f（log2x）有最小值.（2）0＜x＜1.

【解析】主要考查二次函数、对数函数的图象和性质。

【解析】
（1）∵f（x）=x2－x+b，∴f（log2a）=log22a－log2a+b.由已知有log22a－log2a+b=b，

∴（log2a－1）log2a=0.∵a≠1，∴log2a=1.∴a=2.又log2［f（a）］=2，∴f（a）=4.

∴a2－a+b=4，b=4－a2+a=2.

故f（x）=x2－x+2，从而f（log2x）=log22x－log2x+2=（log2x－）2+.

∴当log2x=即x=时，f（log2x）有最小值.

（2）由题意 0＜x＜1.