Question

给定抛物线C：y²＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．

(1)设l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；

(2)若＝2，求直线l的方程．

Answer

(1) (x－3)2＋(y－2)2＝16；(2) y＝±2 (x－1)．

【解析】(1)由直线过点(1,0),斜率为1,所以直线l的方程为y=x-1,

再与抛物线联立借助韦达定理求出AB的中点坐标，即圆心坐标，再根据焦点弦公式|AB|=x1+x2+p,求出半径，写出圆心方程.

(2) 直线l的方程为y＝k(x－1)与抛物线方程联立消去x后得ky2－4y－4k＝0,从而可得

再根据＝2,得y1＝－2y2,从而可解得k的值.

(1)由题意可知，F(1,0)．∵直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y＝x－1，

联立，消去y得x2－6x＋1＝0   设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝6，y1＋y2＝x1＋x2－2＝4，∴所求圆的圆心坐标为(3,2)，

半径r＝＋1＝4，所以圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16

(2)由题意可知直线l的斜率必存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)．

由得ky2－4y－4k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则由＝2，得(x1－1，y1)＝2(1－x2，－y2)

∴y1＝－2y2③    由①②③得k2＝8，k＝±2  ∴直线l的方程为y＝±2 (x－1)．