Question

已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.

(Ⅰ）求椭圆的方程；

(Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点.

①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；

②已知点，求证：为定值.

Answer

（Ⅰ） (Ⅱ）

(2）

【解析】(I)由椭圆的离心率可得,再根据短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为得到,两方程联立可得a,b的值，从而确定椭圆C的方程.

(II)直线y=k(x+1)与椭圆方程联立消去y,得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理x1+x2=-1,可建立关于k的方程，求出k的值.

(III) 在（II）的基础上，因为,

再利用韦达定理代入可得到定值.

（Ⅰ）因为满足， ，

.解得，则椭圆方程为

(Ⅱ）（1）将代入中得

因为中点的横坐标为，所以，解得

(2）由（1）知，

所以