Question

（本小题满分14分）

已知函数，

（Ⅰ）若，求的单调区间；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对，都有，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若在，上单调递增，在上单调递减，求实数的取值范围。

Answer

（Ⅰ） 的递减区间为（0，2），递增区间为；

（Ⅱ）；（Ⅲ）且。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）定义域为

当时，，，令得或（舍）

求解函数的单调区间。

（2）都有成立

∴，可以求解得到。

(3) 因为 

由条件知恰为的两个不相等正根，即恰有两个不相等正根。

【解析】
（Ⅰ）定义域为

当时，，，令得或（舍）

（0，2）

2

-

0

+

↘

↗

∴的递减区间为（0，2），递增区间为…………………4分

（Ⅱ）∵都有成立

∴……………………5分

由（Ⅰ）知

，…………………7分

∴，∴…………………………………8分

（Ⅲ）………………9分

由条件知恰为的两个不相等正根，

即恰有两个不相等正根，………………10分

对于方程显然是方程的一个解，………………11分

当时，(且)

当时，

当时，……………………………13分

∴且………………………14分