Question

（本小题满分14分）

如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上。已知米，米，记。

（Ⅰ）试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域；

（Ⅱ）若，求此时管道的长度；

（Ⅲ）问：当取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度。

Answer

（Ⅰ） ，；

（Ⅱ）时，，；

（Ⅲ）当时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为米。

【解析】本试题主要是考查了函数在实际函数中的运用。

（1），，

由于，，，，所以 ，。

（2）因为时，，

（3）=，设,

则，由于，

构造二次函数，求解最值。

【解析】
（Ⅰ），，

由于，，，。3分

所以 ，……………………………5分

（Ⅱ）时，，；……………10分

（Ⅲ）=，设,

则，由于，

所以 ，在 内单调递减，

于是当时. 的最小值米……………………13分

答：当时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为米………14分