Question

（本小题满分12分）四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.若AB=,

（Ⅰ）求证：平面；   

（Ⅱ）若E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）AE与平面PDB所成的角的大小为.

【解析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题。

（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；

（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．

【解析】
以D为原点建立空间直角坐标系，

设     则，

（Ⅰ）∵，∴，

∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，

∴平面.---------6分

（Ⅱ）当E为PB的中点时，，

  设AC∩BD=O，连接OE，

 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

   ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

  ∵，

∴，

∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.---------12分