Question

（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，面面，是正三角形， ，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求平面DAB与平面ABC的夹角的余弦值；

（Ⅲ）求异面直线与所成角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 平面DAB与平面ABC的夹角的余弦值为；

（Ⅲ）异面直线与所成角的余弦值为 。

【解析】本试题主要是考查了线线的垂直和二面角的求解，以及异面直线的所成的角的求解的综合运用。

（1）先根据线面垂直的性质定理得到线线垂直的判定。

（2）要求解二面角的平面角可以运用三垂线定理作出角，或者利用空间向量表示的二面角平面角。

（3）对于异面直线的所成的角，可以通过平移法得到结论。

（Ⅰ）分别取、的中点、，连结、．

∵是正三角形，∴．

∵面⊥面，且面面，

∴平面．∵是的中位线，且平面，∴平面．

以点为原点，所在直线为轴，所   

在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．设，则，

，， ，．

∴，．             ……………………2分

∴．

∴，即 ．                       …………………5分

（Ⅱ）∵平面，     ∴平面的法向量为．            

设平面的法向量为，∴，．

∴，即 ．

，即 ．

∴令，则，．     ∴．               

 ．

 平面DAB与平面ABC的夹角的余弦值为          …………………10分

（Ⅲ）∵，，

∴．

∴异面直线与所成角的余弦值为                  …………………14