Question

（本小题满分13分）如图（甲），在直角梯形ABED中，AB//DE，ABBE，ABCD,且BC=CD,AB=2,F、H、G分别为AC ,AD ,DE的中点，现将△ACD沿CD折起，使平面ACD平面CBED,如图（乙）．

（1）求证：平面FHG//平面ABE；

（2）记表示三棱锥B－ACE 的体积，求的最大值；

（3）当取得最大值时，求二面角D－AB－C的余弦值．

Answer

（1）证明：见解析；（2）当时有最大值，

 (3)  

【解析】本题的考点是面面平行的判断，主要考查证明面面平行，考查几何体的体积，考查二面角的平面角，关键是正确运用面面平行的判定，利用向量法求面面角，关键是求出相应的法向量

（1）欲证平面FHG∥平面ABE，只需证明线面平行，故只需要在平面FHG中寻找两条相交直线与平面平行；

（2）由于平面ACD⊥平面CBED 且AC⊥CD，所以AC⊥平面CBED，故可表示三棱锥B-ACE的体积，利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件；（3）求解二面角D-AB-C的余弦值，建立空间直角坐标系，利用向量法求解，分别求出平面ACB的法向量，平面ABD的法向量，利用向量的夹角公式得到cosθ

【解析】
（1）证明：由图（甲）结合已知条件知四边形CBED为正方形

如图（乙）

∵F、H、G分别为AC , AD,DE的中点

∴FH//CD, HG//AE-，∵CD//BE  ∴FH//BE

∵面，面

∴面，同理可得面

又∵    ∴平面FHG//平面ABE

（2）∵平面ACD平面CBED 且ACCD

    ∴平面CBED

∴＝＝

∵   ∴（）

∴＝＝

∵，令得（不合舍去）或

当时，当时

∴当时有最大值，

 (3)：由（2）知当取得最大值时，即

BC=这时AC=，从而

过点C作CMAB于M，连结MD

∵ ∴面

∵面

∴       ∴面

∵面   ∴

∴是二面角D－AB－C的平面角

由得＝

∴

在Rt△MCD中