Question

（本题满分13分）

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝1，AB＝2，点E的棱AB上移动。

（I）证明：D₁EA₁D；

（II）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为。

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）时，二面角的大小为.

【解析】本小题主要考查向量语言表述线线的垂直、平行关系、点到平面的距离和二面角的求解等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．

（1）建立如图的坐标系，则 DA1=(1，0，1)，设E（1，t，0），则D1E==(1，t，-1)，通过向量的数量积为0，计算可得D1E⊥A1D；

（2）利用空间直角坐标系，表示平面的法向量，然后得到二面角的平面角的大小。

【解析】
以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则 （2分）

（Ⅰ）  （4分）

（Ⅱ）设平面的法向量，

∴

由  令，

∴  （8分）

依题意

∴（不合，舍去）， .

∴时，二面角的大小为.  （13分）