Question

（本小题满分14分）（注意：仙中、一中、八中的学生三问全做，其他学校的学生只做前两问）

已知函数

（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；

（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，求证：．

Answer

（Ⅰ） 的单调递增区间是，的单调递减区间是．

（Ⅱ）实数的取值范围是．（Ⅲ）见解析。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）因为由得，所以．然后根据导数的符号判定单调性得到及结论

（2）由可知是偶函数．

于是对任意成立等价于对任意成立．然后求解导数，分析得到参数的范围。

（3），

，

运用放缩法得到结论。

【解析】
（Ⅰ）由得，所以．

    由得，故的单调递增区间是，

由得，故的单调递减区间是．（6分）（3分）

    （Ⅱ）由可知是偶函数．

于是对任意成立等价于对任意成立．（8分）（5分）

由得．

①当时，． 此时在上单调递增．

     故，符合题意．  （10分）（7分）

②当时，．当变化时的变化情况如下表：

单调递减

极小值

单调递增

由此可得，在上，．

依题意，，又．（13分）（9分）

综合①，②得，实数的取值范围是．（14分）（10分）

（Ⅲ），

，

，

由此得，

故．（（14分）