Question

定义：在数列中，若，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：

①若是“等方差数列”，则数列是等差数列；②是“等方差数列”；

③若是“等方差数列”，则数列（k∈N*，k为常数）也是“等方差数列”；

④若既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列．

其中正确的命题为                 ．（写出所有正确命题的序号）

Answer

③④

【解析】因为①：可以举反例．如an=0时数列不存在，所以①错误

②：对数列{（-2）n}有an2-an-12=[（-2）n]2-[（-2）n-1]2=4n-4n-1不是常数，所以②错误

③：对数列{akn}有akn2-ak（n-1）2=（akn2-akn-12）+（akn-12-akn-22）+…+（akn-k+12-akn-k2）=kp，而k，p均为常数，所以数列{akn}也是“等方差数列”，所以③正确

④：设数列{an}首项a1，公差为d则有a2=a1+d，a3=a1+2d，所以有（a1+d）2-a12=p，且（a1+2d）2-（a1+d）2=p，所以得d2+2a1d=p，3d2+2a1d=p，上两式相减得d=0，所以此数列为常数数列，所以④正确．

故答案为：③④