Question

在数列{a_n}中,已知a₁=1,a₂=3,a_n+2= 3a_n+1- 2a_n.

(1)证明数列{ a_n+1- a_n}是等比数列,并求数列{a_n}的通项公式;

(2)设b_n=,{b_n}的前n项和为S_n,求证

Answer

⑴an=a1+(a2-a1)+ (a3-a2)+…+(an- an-1)=1+2+22+…+2n-1==2n-1;

⑵bn==log22n=n,Sn=,

,

所以

=2<2.

【解析】本题是中档题，考查等差数列的基本性质，考查计算能力，利用数列的前3项是等比数列建立方程是解题的关键．本题第二小题借用（1）结论用解方程组的方法求出数列通项，设计巧妙，值得借鉴

（1）由an+2= 3an+1- 2an得an+2- an+1= 2(an+1- an),a2-a1=2,

所以,{ an+1- an}是首项为2,公比为2的等比数列,从而得到结论。

(2)因为bn=n,那么结合已知关系式得到裂项求和，从而求解得到结论。