Question

已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，   

求：（1）动点M的轨迹方程；

（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

Answer

（1）（2）N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆

【解析】(1)由题意动点M满足的几何条件为,然后对其坐标化，再化简整理可得到点M的轨迹方程.

（2）本小题属于相关点法求动点的轨迹方程，设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．根据N为线段AM的中点，借助中点坐标公式，把M的坐标用N的坐标来表示，然后代入M的轨迹方程可得点N的轨迹方程.

【解析】
（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合

P ．

由两点距离公式，点M适合的条件可表示为 ，  平方后再整理，得 ．  可以验证，这就是动点M的轨迹方程．

（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．

由于A（2，0），且Ｎ为线段AM的中点，所以

         ， ．所以有，   ①

由（1）题知，M是圆上的点，所以M坐标（x1，y1）满足：②，将①代入②整理，得．

所以N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆．