Question

已知圆和直线

(1) 求证:不论取什么值,直线和圆总相交;

(2) 求取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.

Answer

(1)见解析 (2) 当时，圆被直线截得最短的弦长为4

【解析】（1）由直线l的方程可得从而可确定直线l恒过定点(4,3),

再证明定点（4，3）在圆内部即可.

（2）由弦长公式可知当定点P（4，3）为弦的中点时，圆心到直线l的距离最大，弦长最短，所以此时直线l与CP垂直.

解:(1)证明:由直线的方程可得,,则直线恒通过点

,把代入圆C的方程,得,所以点 在圆的内部,

又因为直线恒过点, 所以直线与圆C总相交.

(2)设圆心到直线的距离为,则

又设弦长为,则,即.

∴当时,

所以圆被直线截得最短的弦长为4.