Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C与直线交于A，B两点，且求a的值．

Answer

（1）（2）

【解析】(1) 曲线与y轴的交点为M（0，1），与x轴的交点为并且圆心在直线x=3上，所以可设圆心C（3，t）,再根据圆|CA|=|CM|可建立关于t的方程，求出t值，进而得到圆C的方程.

(2)在（1）的基础上，由直线方程与圆C的方程联立消去y得到关于x的一元二次方程

,结合OA⊥OB，可得进而得到利用韦达定理代入上式可得到关于a的方程，求出a的值，再验证满足判别式大于零.

【解析】
（Ⅰ）曲线与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（

故可设C的圆心为（3，t），则有解得t=1.

则圆C的半径为

所以圆C的方程为

（Ⅱ）设A（），B（），其坐标满足方程组：

消去y，得到方程 

由已知可得，判别式

因此，从而

       ①

由于OA⊥OB，可得

又所以

              ②

由①，②得，满足故