Question

在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（  ）

A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为

B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为

C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为

D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为

Answer

C

【解析】因为：设底面边长为1，侧棱长为λ（λ＞0），过B1作B1H⊥BD1，B1G⊥A1B．在Rt△BB1D1中，B1D1=，B1D=，由三角形面积关系得：h=B1H,

设在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB1，所以BC⊥平面AA1B1B，于是BC⊥B1G，所以B1G⊥平面AB1CD1，故B1G为点到平面A1BCD1的距离，在Rt△A1B1B中，又由三角形面积关系得d=B1G

=,于是，于是当λ＞1，所以λ2+2＞3，得到的范围是选C