Question

(13分)如图，在边长为2的菱形中，，是和的中点.（Ⅰ）求证：平面 _;

（Ⅱ）若,求与平面所成角的正弦值.

Answer

(Ⅰ)证明:见解析；(Ⅱ) 与平面所成的角的正弦值为。

【解析】(I)根据线面平行的判定定理，只需证明EF//PB即可.

（II），取BC的中点M，连接PM，AM，由题目条件可知是正三角形，所以,所以就是直线PA与平面PBC所成的角，然后解三角形即可求出此角.

(Ⅰ)证明:∵ 是和的中点.

∴EF//PB………………………………………2

又∵EF平面PBC,PB平面PBC……………4

∴平面 ;………………………….5

(Ⅱ)解:过A作AH⊥BC于H,连结PH………………….6

∵, AH平面ABCD

PC⊥AH,又PC∩BC=C

AH⊥平面PBC…………………………………………8

∠APH为与平面所成的角.----------------9

边长为2菱形中，∴ABC为正三角形, 又AH⊥BC

∴H为BC中点,AH=,……………………………10

PC=AC=2∴PA=…………………………………11

∴sin∠APH=

故与平面所成的角的正弦值为………………13