Question

 (14分)如图，在直三棱柱中，，点是的中点.

（Ⅰ）求证:；

（Ⅱ）求证:平面；

（Ⅲ）求异面直线与所成角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为。

【解析】(I)由题目条件可知,又因为,D为AB的中点，所以,所以.

(II)连接BC1交B1C交于O点，连接OD，则OD//AC1,所以平面.

(III)在（I）的基础上可知就是异面直线与所成角,然后解三角形求角即可.

（Ⅰ）∵直三棱柱ABC—A1B1C1中

,

∴…………1

又,…………2

………………………3

∴……………………4

（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，…………….5

     ∵D是AB的中点，E是BC1的中点，

∴DE//AC1，…………………………………………7

∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，………….8

∴AC1//平面CDB1……………………………………9

（Ⅲ）∵DE//AC1，∴∠CED或其补角为AC1与B1C所成的角……..10

    在△CED中，ED=-------------12

    ∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为………………………14