Question

(14分)如图①，直角梯形中，，点分别在上，且，现将梯形A沿折起，使平面与平面垂直(如图②)．

(1)求证：平面；

(2)当时，求二面角的大小．

 

Answer

(1)证明：见解析；(2)∠NHD＝30°。

【解析】(I)本小题属于翻折问题，本小题可以证明平面AMB//平面DNC即可.

（II）解本小题的关键是作出二面角的平面角，具体做法：过N作NH⊥BC交BC延长线于H，∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN，∴DN⊥平面MBCN，从而DH⊥BC，

∴∠DHN为二面角D－BC－N的平面角．

(1)证明：MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，

∴MB∥平面DNC………………………2

同理MA∥平面DNC，………………….3

又MA∩MB＝M，且MA、MB⊂平面MAB.

…………………..5

⇒AB∥平面DNC…………………………………7

(2)过N作NH⊥BC交BC延长线于H，……………………….8

∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN，

∴DN⊥平面MBCN，从而DH⊥BC，

∴∠DHN为二面角D－BC－N的平面角．………………….11

由MB＝4，BC＝2，∠MCB＝90°知∠MBC＝60°，

CN＝4－2cos60°＝3，∴NH＝3sin60°＝………………….13

由条件知：tanNHD＝＝，∴∠NHD＝30°…………………..14