Question

(本小题满分12分)已知数列{a_n}满足a₁＝1，a_n>0，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N_＋，有2S_n＝p(2＋a_n－1)(p为常数)．

(1)求p和a₂，a₃的值；

(2)求数列{a_n}的通项公式．

Answer

(1)a2＝；a3＝2.(2) an＝ (n＋1)．

【解析】(1)令n=1,根据a1=S1=1,得到p=1,

再令n=2可得2S2＝2＋a2－1=2(1＋a2),从而可得a2的值.同理令n=3,可求出a3的值.

(2) 由2Sn＝2＋an－1，得2Sn－1＝2＋an－1－1(n≥2)，

两式相减，得2an＝2(－)＋an－an－1，

即(an＋an－1)(2an－2an－1－1)＝0，

因为an>0，所以2an－2an－1－1＝0，

即an－an－1＝ (n≥2)，到此可确定{an}是等差数列,问题得解.

(1)令n＝1得2S1＝p(2＋a1－1)，

又a1＝S1＝1，得p＝1；

令n＝2得2S2＝2＋a2－1，又S2＝1＋a2，

得2－a2－3＝0， a2＝或a2＝－1(舍去)，

∴a2＝；

令n＝3得2S3＝2＋a3－1，又S3＝＋a3，得

2－a3－6＝0，a3＝2或a3＝－ (舍去)，∴a3＝2.

(2)由2Sn＝2＋an－1，得

2Sn－1＝2＋an－1－1(n≥2)，

两式相减，得2an＝2(－)＋an－an－1，

即(an＋an－1)(2an－2an－1－1)＝0，

因为an>0，所以2an－2an－1－1＝0，

即an－an－1＝ (n≥2)，

故{an}是首项为1，公差为的等差数列，

得an＝ (n＋1)．