Question

(本小题12分)

如图，四棱锥中，底面为平行四边形 底面

（I）证明：

（II）设，求棱锥的高.

Answer

（Ⅰ ）见解析；（Ⅱ）的高为。

【解析】本试题主要是考查了立体几何中线线的垂直和棱锥的高的综合运用。

（1）根据余弦定理先求解BD，然后利用线线垂直得到BD垂直于AD，然后利用PD垂直于底面ABCD，可得BD垂直于PD

（2）过D作DE⊥PB于E，由（I）知BC⊥BD,又PD⊥底面ABCD，所以BC⊥平面PBD，而DE平面PBD，故DE⊥BC,所以DE⊥平面PBC,进而得到棱锥的高。

【解析】
（Ⅰ ）因为, 由余弦定理得 

从而BD2+AD2= AB2，故BDAD

又PD底面ABCD，可得BDPD

所以BD平面PAD.  故PABD

（Ⅱ）过D作DE⊥PB于E，由（I）知BC⊥BD,又PD⊥底面，所以BC⊥平面PBD，而DE平面PBD，故DE⊥BC,所以DE⊥平面PBC

由题设知PD=1，则BD=,PB=2，

由DE﹒PB=PD﹒BD得DE=,即棱锥的高为