Question

（本小题满分10分）

如图，在三棱锥中，底面， 点，分别在棱上，且 

    

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的正弦值；

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）与平面所成的角的正弦值为。

【解析】本试题主要是考查了线面垂直的判定定理的运用，以及线面角的求解的综合运用。

（1）根据已知条件，PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.

（2）∵D为PB的中点，DE//BC，

∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，然后借助于三角形得到求解。

解法1（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又，∴AC⊥BC.

∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，

∴，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

∴△ABP为等腰直角三角形，∴，

∴在Rt△ABC中，，∴.

∴在Rt△ADE中，，

∴与平面所成的角的正弦值为

解法2如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，

设，由已知可得

.

（Ⅰ）∵，     

∴，∴BC⊥AP.

又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，

∴，

∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵，

∴.

∴与平面所成的角的正弦值为