Question

(本题满分10分)

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°.

(1)求异面直线AF与BG所成的角的大小；

(2)求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的余弦值

Answer

(1) AF与BG所成角为；  (2)平面APB与平面CPD所成的锐二面角的余弦值为.

【解析】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，异面直线及其所成的角，其中建立空间坐标系，将空间线线夹角及二面角问题转化为空间向量夹角问题，是解答本题的关键．

由题意可知，AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A-xyz，求出图中各点坐标

（1）求出异面直线AF，BG的方向向量，根据两个向量的数量积为0，两个向量垂直，易得异面直线AF，BG所成的角的大小为

（2）求出平面APB的法向量为 n和设平面CPD的法向量为m, ，代入向量夹角公式 ，可得面APB与面CPD所成的锐二面角的大小

解  由题意可知：AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A-xyz

由平面几何知识知：AD＝4,  D (0, 4, 0),  B (2 , 0 , 0 ),

C ( 2, 2, 0 ),  P (0, 0, 2),  E (0, 0, 1),  F (1 ,0, 1),  G (1 ,1 ,1)

(1) ＝(1,0,1), ＝(－1,1,1)

∴·＝0，

∴AF与BG所成角为  .         

(2) 可证明AD⊥平面APB，

∴平面APB的法向量为n＝(0,1,0)

设平面CPD的法向量为m＝(1，y，z)

由  Þ 

故m＝(1,1,2)

∵cos＝

∴平面APB与平面CPD所成的锐二面角的余弦值为.