Question

(本小题12分)如图， 、分别是正四棱柱上、下底面的中

心，是的中点，.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心?

 

Answer

(Ⅰ)证明 见解析；       

（Ⅱ）当时，在平面内的射影恰好为的重心.

【解析】本题是中档题，考查空间向量求直线与平面平行，法向量的求法，直线与平面所成的角，考查计算能力．

（1）以点O为原点，直线OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=2，然后利用平面向量基本定理来证明线面平行。

（2）先由（Ⅰ）知△PBC的重心G坐标，然后利用利用数量积垂直关系为0，得到参数k的值。

以点为原点，直线所在直线分别为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，

则得、、、、 

(Ⅰ)证明  由上得、、

，设得

解得， ∴

，  ∴∥平面            

（Ⅱ）解  由(Ⅰ)知的重心为，则，

若在平面内的射影恰好为的重心，则有，解得

∴当时，在平面内的射影恰好为的重心.