Question

（本题满分14分）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．

（1）求第n年初M的价值的表达式；

（2）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，

证明：第6年初仍可对M继续使用．

Answer

（1）；(2)第6年初仍可对M继续使用.

【解析】(1)根据前6年每年初的价值构成一个等差数列，从第7年开始每年初的价值构成一个等比数列，因而其通项公式.

(2)先利用等差数列的前n项和公式计算出前6项的和与80比较，确定第6年初是否仍可对M继续使用.

（1）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．

当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以

因此，第年初M的价值的表达式为

(2)设表示数列的前项和，由等差数列的求和公式得

当时，

所以，第6年初仍可对M继续使用.