（本小题14分）在数列中，，，．（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项...

（本小题14分）在数列中，，，．

（Ⅰ）证明数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．

（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）．（Ⅲ）证明：见解析。【解析】(I) 由题设，得，．再求出即可数列是等比数列. (II)由（I）可求出，然后再分组求和即可. （III）用作差比较法从而得到证明. （Ⅰ）证明：由题设，得，．又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为．所以数列的前项和．（Ⅲ）证明：对任意的，．所以不等式，对任意皆成立．

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考点分析：

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（本小题14分）某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：