Question

(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面为菱形，，为的中点，。

 

（1）求证：平面;

 (2) 求四棱锥的体积

（3）在线段上是否存在点，使平面；   若存在，求出的值。

Answer

（1）见解析；（2）；

(3)存在，当时，平面。

【解析】本试题主要是考查了空间几何体中线面的垂直问题，以及锥体的体积，和线面平行的判定综合运用。

（1）连BD，四边形ABCD菱形，  ∵AD⊥AB，  ∠BAD=60°

    △ABD为正三角形， Q为AD中点， ∴AD⊥BQ

∵PA=PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ 又BQ∩PQ=Q  ∴AD⊥平面PQB.

（2）因为平面，那么是四棱锥的高，

利用锥体的体积公式得到。

（3）因为AQ//BC,那么结合PA//MN，得到判定定理，从而得到证明。

【解析】
（1）连BD，四边形ABCD菱形，  ∵AD⊥AB，  ∠BAD=60°

    △ABD为正三角形， Q为AD中点， ∴AD⊥BQ…………………………2分

∵PA=PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ……………………………3分

又BQ∩PQ=Q  ∴AD⊥平面PQB. ………………………………5分

（2）平面平面

平面平面=

平面，

所以平面…………………………………7分

是四棱锥的高，

…………………………………9分

(3)存在，当时，平面

由可得，，……………………11分

   ………………………………………………………12分

平面，平面，平面………………14分