Question

（本题13分）在几何体ABCDE中，∠BAC= ，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F是BC的中点，AB=AC=BE=2，CD=1． 

（1）求证：DC∥平面ABE；

（2）求证：AF⊥平面BCDE；

（3）求几何体ABCDE的体积．

Answer

（1）证明：见解析；（2）证明：见解析；（3）2。

【解析】本题考查线面平行，考查线面垂直，考查几何体的体积，解题的关键是正确线面平行、垂直的判定方法，正确运用体积公式．

（I）证明DC∥平面ABE，即证DC∥EB，利用DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC可证；

（II）证明AF⊥平面BCDE，利用线面垂直的判定，证明DC⊥AF，AF⊥BC即可；

（III）几何体ABCDE的体积就是以平面BCDE为底面，AF为高的三棱锥的体积．

（1）证明：

∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，∴DC∥EB，

又∵DC⊄平面ABE，EB⊂平面ABE，

∴DC∥平面ABE     

（2）证明：∵DC⊥平面ABC，AF⊂平面ABC

∴DC⊥AF，又∵AB=AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，

又∵DC∩BC=C，DC⊂平面BCDE，BC⊂平面BCDE，

∴AF⊥平面BCDE                                    

（3）【解析】
∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，

∴DC∥EB，且四边形BCDE为直角梯形                   

∵在△ABC中，∠BAC=，AB=AC=2，F是BC的中点 

 ∴BC=，AF=

∵由（II）可知AF⊥平面BCDE

∴几何体ABCDE的体积就是以平面BCDE为底面，AF为高的三棱锥的体积

∴VABCDE=VA-BCDE=SBCDE×AF=×(1+2)××=2