Question

（本小题满分１２分）

在三棱柱中，侧棱，点是的中点，．

（1）求证：∥平面；

（2）为棱的中点，试证明：．

Answer

见解析。

【解析】本试题主要是考查了空间立体几何中线面平行和线线垂直的证明。

（1）连接，交于点, 连接.

∵、分别是、的中点，∴∥．

∵平面，平面，∴∥平面．

（2）正三棱柱中，，∴四边形是正方形．

∵为的中点，是的中点，∴可得到，同时还有．，利用线面垂直的性质定理得到结论。

（1）证明：连接，交于点, 连接.

∵、分别是、的中点，∴∥．

∵平面，平面，∴∥平面．      

（2）∵在正三棱柱中，，∴四边形是正方形．

∵为的中点，是的中点，∴，

∴，．

又∵， ，∴． 

∵是正三角形，是的中点，∴．

∵平面平面, 平面平面，平面，

∴平面．

∵平面，∴．

∵，∴平面．

∵平面，∴．