Question

已知梯形中，∥，，，、分别是、上的点，∥，，是的中点．沿将梯形翻折，使平面⊥平面 （如图）.

（I）当时，求证： ；

（II）若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；

（III）当取得最大值时，求二面角的余弦值．

Answer

（1）略

（2）时有最大值为．

（3）所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－．

【解析】(1) 作DH⊥EF于H，连BH，GH，

由平面平面知：DH⊥平面EBCF，而EG平面EBCF，故EG⊥DH．

然后再证明,从而可证得.

(2) ∵AD∥面BFC，可把转化为从而可得,因而最值可求.

(3)宜采用向量法求解，要先求出二面角二个面的法向量，然后利用法向量的夹角与二面角相等或互补求二面角的大小.