Question

已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中：

（1）求的标准方程；

（2）请问是否存在直线同时满足条件：(ⅰ)过的焦点；(ⅱ)与交于不同两点、，且满足.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）方程为         

（Ⅱ）存在直线满足条件，且的方程为：或

【解析】(1) 设抛物线，则有，据此验证个点知.在抛物线上，易求,再设：，把点（2，0）（，）代入得可建立关于a,b的两个方程，求出a,b值，从而得到椭圆方程.

（II）由题意可知此直线斜率一定存在，从而可设直线l的方程为,再与椭圆C1的方程联立消y后得关于x的一元二次方程，，即，得，然后根据韦达定理可得到关于k的方程，求出k值，从而得到直线l的方程.