Question

设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：

（Ⅰ）求实数b 的取值范围；

（Ⅱ）求圆C 的方程；

Answer

（Ⅰ）b＜1 且b≠0．（Ⅱ）.

【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．

(1)令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，

由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

(II)设所求圆的一般方程为：，令y=0，得,

根据它与＝0 是同解方程，可得D，F的值，再根据＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．从而可求出圆C的方程.

（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，

由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为：，

令＝0 得．

这与＝0 是同一个方程，

故D＝2，F＝．

令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．

所以圆C 的方程为

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