Question

如图所示，在四面体中，，，两两互相垂直，且．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的大小；

（3）若直线与平面所成的角为，求线段的长度.

Answer

（1）见解析   （2）二面角的大小为．   （3）．

【解析】本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，二面角及其度量，考查逻辑思维能力，转化思想，是中档题．熟练掌握空间线面关系的判定定理及性质定理，及线面夹角和二面角的定义是解答此类问题的关键．

（Ⅰ）要证平面ACD⊥平面ABC，只需证明平面ACD内的直线CD，垂直平面ABC内的两条相交直线AB，BC，即可证明CD⊥平面ABC，从而证明平面ACD⊥平面ABC．

（Ⅱ）说明∠CBD是二面角C-AB-D的平面角，解Rt△BCD，求二面角C-AB-D的大小；

（Ⅲ）过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接DH，则∠BDH为BD与平面ACD所成的角，解Rt△BHD即可确定∠BDH正弦值的范围，进而得到AB