Question

（本题满分14分）

已知椭圆:，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设O为坐标原点,点分别在椭圆和上,,求直线的方程.

Answer

(Ⅰ)由已知可设椭圆的方程为

      依题意得,     则

     故椭圆的方程为………………………………………………4分

(Ⅱ) 设两点的坐标分别为,

由及(Ⅰ)知,三点共线且点不在轴上,

因此可设直线的方程为…………………………………………..6分

将代入中,得,所以;………9分

将代入中,得,所以……….12分

又由,得,即解得

故直线的方程为或……………………………………………..14分

【解析】(I) 椭圆以的长轴为短轴,可设的方程为,

再根据它与有相同的离心率,可求出a值，从而得到C2的方程.

（II）由及(Ⅰ)知,三点共线且点不在轴上,

因此可设直线的方程为，它分别与椭圆C1，C2联立，消y后得关于x的一元二次方程，求出，再由可得，从而消去得到关于k的方程，从而得到k值，确定AB的直线方程.