Question

（本题满分１２分）

如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点.

   （1）求证：MN//平面PAD

   （2）求证：MN⊥CD

   （3）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD.

Answer

见解析。

【解析】本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，证明AE⊥平面PCD 是解题的关键．

（1）取PD的中点E，连结AE、EN则有EN//CD//AB//AM，

且EN=CD=AB=MA.∴四边形AMNE是平行四边形.∴MN//AE.∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN//平面PAD.

（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥AE，即AB⊥MN.又CD//AB，∴MN⊥CD.

（3）取PD的中点E，证明AMNE为平行四边形，MN∥AE，由等腰直角三角形斜边上的中线性质可得AE⊥PD，再由CD⊥AE 可得AE⊥平面PCD，故有MN⊥平面PCD．

证明：（1）如图，

取PD的中点E，连结AE、EN则有EN//CD//AB//AM，

且EN=CD=AB=MA.

∴四边形AMNE是平行四边形.

∴MN//AE.

∵AE平面PAD，MN平面PAD，

∴MN//平面PAD.

   （2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.

又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.

∴AB⊥AE，即AB⊥MN.又CD//AB，

∴MN⊥CD.

   （3）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.

又∠PAD=45°，E是PD中点，

∴AE⊥PD，即MN⊥PD.

又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD