Question

（本题满分１２分）

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

   

    （I）求证：平面BCD；

    （II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

    （III）求点E到平面ACD的距离。

Answer

（I）证明：见解析；（II）异面直线AB与CD所成角的余弦值为；

（III）点E到平面ACD的距离为

【解析】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．

（I）欲证AO⊥平面BCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO与平面BCD内两相交直线垂直，而CO⊥BD，AO⊥OC，BD∩OC=O，满足定理；

（II）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，异面直线AB与CD的向量坐标，求出两向量的夹角即可；

（III）求出平面ACD的法向量，点E到平面ACD的距离转化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可．

（I）证明：连结OC

    在中，由已知可得

    而      即

        平面

    （II）【解析】
取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

    直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

    在中，

    是直角斜边AC上的中线，  

    异面直线AB与CD所成角的余弦值为

    （III）【解析】
设点E到平面ACD的距离为

        在中，

         而

      点E到平面ACD的距离为