Question

（本题满分12分）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P和Q(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式:P=x，Q=.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少,能获得的最大利润为多少？

Answer

为了获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得最高利润1.05万元.

【解析】本题考查了二次根式在实际问题中的运用．关键是根据题意列方程，两边平方去根号转化为关于x的一元二次方程，利用判别式求解．

根据3万元资金投入经营甲、乙两种商品，设投入甲x万元，则投入乙（3-x）万元，根据总利润=甲的利润+乙的利润，列方程并平方整理为关于x的一元二次方程，由△≥0，求s的最大值，并求出此时x的值．

解:设对甲种商品投资x万元，获总利润为y万元，则对乙种商品的投资为(3-x)万元，于是y=x+(0≤x≤3).

令t= (0≤t≤)，则x=3-t2,   

∴y= (3-t2)+ t= (3+3t-t2)  =- (t-)2+,t∈［0,］.

∴当t=时，ymax==1.05(万元)； 由t=可求得x=0.75(万元)，  3-x=2.25(万元),

∴为了获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得最高利润1.05万元.