Question

（本题满分14分）

  已知定义域为的函数是奇函数.

（Ⅰ）求的值；   （Ⅱ）判断函数的单调性;

（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）在上为减函数. （Ⅲ） 

【解析】（Ｉ）可根据f(0)=0,建立关于b的方程，求出b的值．

（ＩＩ）由（Ⅰ）知，然后再利用单调性定义：第一步取值，作差并判断差值符号，下结论三个步取来判断．

(III)由（ＩＩ）知f(x)在Ｒ上是增函数，所以等价于,再利用单调性可转化为关于t的不等式恒成立问题来解决．

（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，

即………………………..3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

设则

因为函数y=2在R上是增函数且 ∴>0

又>0 ∴>0即

∴在上为减函数.             ……………7分

（Ⅲ）因是奇函数，从而不等式：  

等价于，………….9分

因为减函数，由上式推得：．即对一切有：

，            ………………….12分

从而判别式 ……….14分