Question

（16分）已知函数

（1）求证：函数在上为单调增函数；

（2）设，求的值域；

（3）对于（2）中函数，若关于的方程有三个不同的实数解，求的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）值域为；（3）的取值范围为。

【解析】本试题主要是考查了函数的单调性和最值问题，以及函数与方程的思想的综合运用

（1）根据已知关系式设出变量，作差，变形定号得到结论。

（2）在第一问的基础上，可知分析函数的单调性得到值域。

（（3）因为由（2）可知可知其图像，然后徐结合图像，

设，则有三个不同的实数解，即为有两个根，且一个在上，一个在上，然后分析得到m的范围。

（1），设是上的任意两个数，且，……2分

则……4分

因为，∴，∴即

所以在上为增函数，                        …………………………6分

（2），

因为，所以，所以，

即   …………………………8分

又因为时，单调递增，单调递增，

所以单调递增，所以值域为     …………………………10分

（3）由（2）可知大致图象如右图所示，

设，则有三个不同的实数解，即为有两个根，且一个在上，一个在上，设      ………12分

①当有一个根为1时，

，，此时另一根为适合题意； ………………13分

②当没有根为1时，，得，∴

∴的取值范围为                         …………………………16分