Question

(本小题满分13分)

(1)证明：函数在上是减函数，在[，+∞)上是增函数；

Answer

【解析】
（1）见解析；

（2）当时，方程无解；当方程有一个解；当时，方程有两个解.

【解析】本试题主要是考查了函数的单调性的证明以及方程解的问题的综合运用

（1）设出定义域内任意两个变量，作差得到变形，定号，确定结论。

（2）根据（1）知函数的单调性，以及函数的的最值，结合常函数与函数的图像的交点问题来得到结论。

【解析】
（1）证明：设，且

则==

==．………4分

（ⅰ）若，且，，所以，

即．所以函数在区间[，+∞)上单调递增．………6分

（ⅱ）若，则且，，

所以，即．所以函数在区间[，+∞)上单调递减．………………………………………………………………………………………8分

（2）由（1）知函数在区间（1，)上单调递减，在区间[，+∞)上单调递增，所以的最小值=，的最大值=………………10分

故当时，方程无解；当方程有一个解；当时，方程有两个解.………………………………………………………………………………13分