Question

已知函数.

（I）求证：不论为何实数总是为增函数；

（II）确定的值, 使为奇函数；

（Ⅲ）当为奇函数时, 求的值域.

Answer

(1) 见解析；(2)  ；（3）的值域为

【解析】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．

（1）先设x1＜x2，欲证明不论a为何实数f（x）总是为增函数，只须证明：f（x1）-f（x2）＜0，即可；

（2）根据f（x）为奇函数，利用定义得出f（-x）=-f（x），从而求得a值即可；

（3）由（2）知f(x)=利用指数函数2x的性质结合不等式的性质即可求得f（x）的值域．

解: (1) 依题设的定义域为       ……1分

原函数即   ，设,

则=,……2分

, ,

即,所以不论为何实数总为增函数.     ……5分

(2) 为奇函数, ,即,

        则，

          ……10分

（3）由(2)知, ,,

       所以的值域为    ……14分