Question

已知函数的定义域为，对于任意的，都有，且当时，，若.

（1）求证：为奇函数；

（2）求证:是上的减函数；

（3）求函数在区间上的值域.

Answer

见解析。

【解析】本试题主要是考查了函数 奇偶性和单调性的综合运用。

（1）运用赋值法得到关于f(x),f(-x)的关系式，进而得到证明。

（2）任取且,

则

又，，得到结论。

（3）

又为奇函数,

由(2)知是上的减函数,所以当时，取得最大值，最大值为，进而分析得知。

(1)证明：的定义域为,令,则， 令,则，即.

，故为奇函数.   4分

（2）证明：任取且,

则

又，，，

即

故是上的减函数.        8分

（3）解:

又为奇函数,

由(2)知是上的减函数,

所以当时，取得最大值，最大值为；

当时，取得最小值，最小值为. 11分

所以函数在区间上的值域为.      12分