Question

已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）判断的奇偶性并证明你的结论；

（3）试讨论的单调性.

Answer

（1）. （2）函数f(x)是奇函数.

（3）在上为减函数;在为减函数.

【解析】本试题主要是考查了函数的奇偶性和定义域单调性的综合运用。

（1）要使得原式有意义则依题意 得

那么可以得到函数的 定义域。

（2）因为又对定义域内的任意有

，可知函数为奇函数。

（3）由（2）知要判断其单调性只需要确定在上的单调性即可.

设是区间上的任意两个实数，且.

∴，变形定号，下结论。

【解析】
（1）依题意 得

，解得﹣1＜x＜1，且x≠0，即定义域为.  4分

（2）函数f(x)是奇函数.

证明如下：

易知定义域关于原点对称，又对定义域内的任意有

即，故函数f(x)是奇函数．   8分

（3）由（2）知要判断其单调性只需要确定在上的单调性即可.

设是区间上的任意两个实数，且.

∴

=

.

∵0＜x＜x＜1 ，∴，由得，

，即.

∴在上为减函数;

同理，可证在上也为减函数. 12分