Question

（本小题满分12分）已知函数，且 

（1）判断的奇偶性，并证明；

（2）判断在上的单调性，并证明；

（3）若，求的取值范围。

Answer

(1) 为奇函数，见解析；（2）在上的单调递增，证明：见解析；

（3）。

【解析】本试题主要是考查了函数奇偶性和函数的单调性的综合运用。

（1），且

∴ ，解得 ，根据奇偶性的定义得到奇函数的证明。

(2) ∵ ，由（2）知在上的单调递增

又，即，所以可知

又由的对称性可知 时，同样成立，命题得证。

解 ∵ ，且

∴ ，解得 …………………1分

(1) 为奇函数，…………………………………..2分

 证：∵ ，定义域为，关于原点对称………………..3分

又

所以为奇函数………………………………4分

（2）在上的单调递增………………………………..5分

证明：设，

则……………………7分

∵

∴  ，

故，即，在上的单调递增  …………9分

（3）解法一

若 ，即，显然 ，

化简得，解得………………………..12分

解法二、∵ ，由（2）知在上的单调递增

又，即，所以可知

又由的对称性可知 时，同样成立 ∴