Question

（本小题满分12分）

已知函数满足对一切都有,且,

当时有.

(1)求的值;

(2)判断并证明函数在上的单调性;

(3)解不等式:.

Answer

⑴在上是减函数. ⑶.

【解析】本试题主要是考查了抽象函数的赋值思想的运用，以及单调性证明和不等式的求解综合运用。

（1）令,得, 再令,得  ,即,从而 

（2）按照定义法，任取

得到证明。

（3）由条件知,,    

设,则,即,

整理,得  

又因为在上是减函数,,即可知结论。

解:⑴令,得  ,

再令,得  ,

即,从而  .        ……………………………2分

⑵任取

     ……………………………3分

   .  ………………………4分

,即.

在上是减函数.        ……………………………6分

⑶由条件知,,    

设,则,即,

整理,得   ,      ……………………………8分

而,不等式即为,

又因为在上是减函数,,即,  …………………10分

,从而所求不等式的解集为. …………12分