Question

（本小题满分12分）

定义在R上的函数，，当时，，且对任意实数，

有，

(1) 求证：；         （2）求证：对任意的∈R，恒有>0；

（3）证明：是R上的增函数；（4）若，求的取值范围.、

Answer

见解析。

【解析】(1)令a=b=0,可知,因为，所以f(0)=1.

(2)令a=x,b=-x,可得f(0)=f(x)f(-x),再结合f(0)=1,x>0,f(x)>1,可确定当x<0时，f(x)>0,又因为f(0)=1.,从而问题得证.

(3)任取x2>x1,则,从而证得结论.

（4）,

从而再利用（3）的单调性转化为不等式,从而问题易解.