Question

（本题满分12分）

如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)证明：PQ⊥平面DCQ；

(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．

Answer

(1)证明：见解析；(2) 1:1.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明本题是解决本题的关键，要在平面中寻找与已知直线垂直的两条相交直线，进行线面关系的互相转化；

（Ⅱ）利用体积的计算方法将本题中的体积计算出来是解决本题的关键，掌握好锥体的体积计算公式．

【解析】

(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形．

因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.

又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，

所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.

在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD.

所以PQ⊥平面DCQ.

(2)【解析】
设AB＝a.

由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝a3.

由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面积为a2，

所以棱锥P－DCQ的体积V2＝a3.

故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1:1.

考点：本试题主要考查了空间中线面垂直的判定方法，考查学生的转化与化归能力，将线面垂直转化为线线垂直，注意步骤的规范性，考查学生对锥体的体积的计算方法的认识，考查学生的几何计算知识．