Question

(本题满分12分) 

已知a∈R，函数f(x)＝4x³－2ax＋a.

（1）求f(x)的单调区间；

（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|>0.

Answer

(1)函数f(x)的单调递增区间为和，

单调递减区间为.(2)见解析。

【解析】

试题分析：（1）根据函数的导数符号与函数单调性的关系来判定求解其单调区间。

（2）要证明不等式恒成立问题，那么要转化为函数的最值问题来处理即可或者构造函数求解函数的 最小值大于零得到。

【解析】

 (1)由题意得f′(x)＝12x2－2a.

当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).

当a＞0 时，f′(x)＝12，此时

函数f(x)的单调递增区间为和，

单调递减区间为.

(2)由于0≤x≤1，故

当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2.

当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2.

设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则g′(x)＝6x2－2＝6，于是

x

0

-

0

+

1

减函数

极小值

增函数

1

所以g(x)min＝g＝1－＞0.

所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0.

故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0.

考点：本试题主要考查了导数在研究函数问题中的运用。